В заметке “Пониматика (1). Формулы сокращенного умножения” я упомянул то, что по моему мнению понимание формулы “квадрат суммы” является отправной точкой для вывода целого ряда формул и теорем. Так, например, одно из доказательств “Теоремы Пифагора” (а их более 400 существует) прям-таки вытекает из “Квадрата суммы”.
Рисунок 1 это как раз рисунок из заметки “Пониматика (1). Формулы сокращенного умножения.”. Так-что просто продолжим рассуждения. Разделим один из прямоугольников пополам, проведя диагональ как показано на рисунке. Получим два прямоугольных треугольника у которых известны катеты и не известны гипотенузы, казалось бы, a2+b2=c2, так ведь нельзя так считать мы еще это только сейчас доказывать будем. Так-что гипотенуза c, нам пока не известна.
Достроим еще один квадрат, путем поворотов на 90o и отражений (поворотов на 180o), используя один из треугольников (любой, они же одинаковые) полученных из “разделения прямоугольника” (Рисунок 2)
Получается большой квадрат с полым квадратом (квадратным отверстием) со стороной c внутри, длина которой единственная неизвестна.
Зато известно все остальное (Рисунок 3).
Нижний квадрат из формулы “Квадрата суммы” из которого вытекает формула “сумма квадратов” и верхний квадрат из которого, путем вычитания площадей треугольников из общей площади “Квадрата суммы” получается площадь квадрата со стороной c .
Вот и получилось что сумма площадей квадрата со стороной a и квадрата со стороной b равна площади квадрата со стороной c . Что и требовалось доказать.
a2+b2=c2
Вот теперь мы можем использовать (теперь уже с пониманием) в расчетах, то что сумма квадрата катетов равна квадрату гипотенузы